La topologia è quella branca della matematica che studia le proprietà degli oggetti che permangono ‘invarianti’ (cioè, non cambiano) sotto deformazioni cosiddette ‘continue’, cioè senza provocare ‘rotture’ agli oggetti stessi. Un esempio classico è quello di una sfera che può essere facilmente deformata in un oggetto più oblato (un ellissoide) schiacciandola ai poli. Allo stesso tempo, la sfera non può essere cambiata in un oggetto tipo ciambella, a meno di crearci un buco attraverso. Questo semplice esempio suggerisce che una sfera e un ellissoide sono topologicamente equivalenti, mentre una sfera e una ciambella non lo sono.
La topologia non è soltanto una specialità della matematica, ma entra anche nella caratterizzazione delle proprietà fisiche di molecole e sostanze, anche abbastanza comuni come i materiali polimerici. Un polimero (dal greco “che ha molte parti”) è una molecola composta da una sequenza di parti più piccole (le chiameremo, monomeri) unite fra loro da speciali legami chimici (i cosiddetti legami “covalenti”). Il processo di “polimerizzazione” alla base della costruzione di un polimero consiste nella formazione di detti legami a partire da monomeri singoli dispersi in un mezzo opportuno (il ‘solvente’). Questi possono unirsi uno dietro l’altro formando così catene singole, ma anche in architetture più complesse. Va da sé che questo processo può, in principio, continuare indefinitamente, dando luogo a molecole estremamente lunghe. Se il singolo monomero ha una taglia tipica di qualsiasi molecola semplice (dell’ordine del nanometro, ovvero un miliardesimo di metro), un polimero può contenere anche milioni di monomeri in sequenza, arrivando pertanto a taglie “macroscopiche” (dell’ordine dei millimetri, ma sovente anche più). I polimeri sono, pertanto, tra le più grandi molecole conosciute in natura.
Per le loro proprietà, i polimeri rivestono una grande importanza dal punto di vista pratico e industriale. Ad esempio, le materie plastiche sono a base di polimeri. Allo stesso tempo, le molecole alla base della vita come la conosciamo (il DNA, l’RNA, le proteine) sono dei polimeri. Ma qual è la connessione esistente fra polimeri e topologia? E perché è così importante?
Un primo esempio che permette di capire intuitivamente questo legame può essere compreso proprio ritornando al processo di polimerizzazione che abbiamo illustrato all’inizio. Durante la costruzione della molecola può succedere (in alcuni casi può anche essere “volontariamente” indotto mediante una precisa catalisi chimica) che la molecola si ripieghi su se stessa formando un nodo. Esattamente come una comune stringa delle scarpe. Se le due parti terminali della catena vengono “incollate” l’una contro l’altra il nodo si troverà permanentemente collocato all’interno del polimero, e non potrà essere rotto, a meno che la molecola stessa non venga recisa in qualche sua parte. Oggigiorno questi nodi molecolari sono creati in continuazione e studiati con grande attenzione per le loro proprietà fisico-chimiche estremamente peculiari e innovative.
Un esempio altrettanto importante della fondamentale connessione fra topologia e polimeri riguarda i cosiddetti liquidi polimerici ad alta concentrazione (o, densi). Per capire in maniera intuitiva di che cosa stiamo parlando, e per comprendere la differenza fra un liquido polimerico denso e un liquido normale (come l’acqua), dobbiamo immaginare una situazione in cui il processo di polimerizzazione dà luogo a un insieme di catene polimeriche distinte tra loro. A questo punto il solvente usato durante la preparazione dei polimeri viene rapidamente rimosso, creando una soluzione le cui uniche componenti sono i polimeri stessi. Queste molecole, a causa del loro elevato peso molecolare, sono inevitabilmente ‘aggrovigliate’ le une con le altre, formando una specie di rete molecolare il cui comportamento fisico è appunto fortemente condizionato dalla presenza di questi ‘aggrovigliamenti’. Per capire meglio questo punto, dobbiamo immaginare la situazione in cui applichiamo una tensione esterna al materiale polimerico. A causa della presenza degli ‘aggrovigliamenti’ il liquido polimerico tenderà a espandersi e accumulerà un certo ‘stress’; questo sarà poi rilasciato nel momento in cui la tensione esterna cessa. Tuttavia, e qui entra in gioco la particolarità dei fluidi polimerici, il tempo necessario a rilasciare lo stress accumulato cresce circa come una particolare legge a potenza della lunghezza delle singole catene. Il meccanismo di rilascio dello stress è legato a come le catene si muovono le une rispetto alle altre: il movimento infatti, a causa della presenza degli ‘aggrovigliamenti’, è permesso solo per scivolamento delle catene polimeriche le une rispetto a quelle immediatamente vicine. Ovviamente le catene non possono scavallarsi perché ciò implicherebbe che alcuni legami delle suddette catene siano stati violati.
Questo importante meccanismo dinamico (noto in fisica dei polimeri come ‘reptation’, dato che il moto delle catene polimeriche ricorda quello dei serpenti) venne identificato per la prima volta all’inizio degli anni ’70 dal francese Pierre-Gilles de Gennes (premio Nobel per la Fisica nel 1991) e dall’inglese Sam Edwards. Da allora, il meccanismo è stato generalizzato a un’altra classe importante di fluidi polimerici: quello delle soluzioni concentrate di polimeri circolari, dove ogni catena è non concatenata con le altre. Solo apparentemente non particolarmente importante, la non-concatenazione è una proprietà topologica fondamentale: a causa di essa e del fatto che non può essere violata, i polimeri circolari in fase densa tendono a respingersi gli uni con gli altri, e ognuno di essi tende a compattarsi e rimanere spazialmente ‘localizzato’. Questa proprietà, nota come ‘territorialità’, fa sì che i fluidi densi di polimeri circolari siano intrinsecamente più ‘soffici’ in risposta a stress esterni rispetto ai corrispettivi fluidi di catene lineari. Questo comportamento ‘esotico’ rimane non ancora compreso del tutto (manca una vera e propria teoria fisica al riguardo) e molti gruppi di ricerca sono al momento al lavoro su di esso.
È tuttavia interessante notare che la ‘territorialità’ non è soltanto una proprietà di questo particolare tipo di fluidi polimerici, ma è una caratteristica che emerge anche nello studio dell’organizzazione dei cromosomi all’interno dei nuclei cellulari. L’analogia appena descritta fra i due sistemi è più che una mera coincidenza. Infatti ogni cromosoma è un lungo polimero, essenzialmente un lungo filamento di DNA. All’interno del nucleo cellulare il filamento di ogni cromosoma appare ben separato dai filamenti degli altri cromosomi: la teoria della ‘territorialità’ dell’organizzazione cromosomica, enunciata dai ricercatori tedeschi Thomas e Christoph Cremer, è quindi il risultato della conservazione delle proprietà topologiche di lunghe molecole di DNA all’interno del ristretto spazio del nucleo cellulare. La territorialità, emergente dalla topologia, risulta essenziale al corretto funzionamento della cellula: se alterata (in parte o in tutto), le conseguenze sulla cellula sono spesso gravi, quando non fatali.
Angelo Rosa
Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati