C:\Users\maria sapuppo\Desktop\Pitagora\Esercizi\dimostrazioni geogebra\Geogebra\18J.Arioni e il passaggio al limitegeogebra-export

h

a_1

a_2

a_3

a_4

B

C

A

a

b

c

h

h_1

a_1

h_2

a_2

b_1

b_3

b_2

b_4

h_3

a_3

Dai  triangoli  azzurri\
2)  \frac{a_n}{a_n-1}=\frac{b_n}{b_n-1}

Dall'immagine  con  i  triangoli  verdi\3)   \frac{a_n}{h_n_-_1}=\frac{h_n_-_1}{a_n_-_1}=\frac{b}{c}

Mettiamo  insieme  2)  e \ 3)(dove  moltiplichiamo  pe r  h_n_-_1  e  dividiamo   per  a_n_-_1):\4)  \frac{b_n}{b_n_-_1}=\frac{a_n}{a_n_-_1}=\frac{(h_n_-_1)^2}{(a_n_-_1)^2}=\frac{b^2}{c^2}

Da  cui\5)  b_n=b_n_-_1\frac{b^2}{c^2}

Dal  triangolo  ABC\ 1)  b_1=h\frac{a}{c}=\frac{ba}{c}\frac{a}{c}=b\frac{a²}{c²}

Se  b  è  diviso  in  n  parti  ,\
 cateti   minori  dei  triangoli  azzurri,\
b=b_1+b_2+b_3+......+b_n  ,  usiamo  la  5)\
cioè  b=b_1+b_1\frac{b²}{c²}+b_1\frac{b^4}{c^4}+.....b_1\frac{b^2^(^n^-^1^)}{c^2^(^n^-^1^)}

6) In  sintesi\\sum_{i=0}^{n-1}{ }[b_1(\frac{b²}{c²})^i]= 
b₁\frac{1-(\frac{b^2}{c^2})^n}{1-(\frac{b^2}{c^2})}\
Abbiamo  calcolato  la  somma  di  una\  progressione  geometrica

 Se sommiamo i primi 15 valori b_i 
 cioè   l1= b_1,b_2,....,b_1_5
 non troviamo la misura
 di tutto b
(muovi slider n e osserva immagine)

Se sommiamo i primi 60 valori di b_i
cioè l2=b_1,b_2,b_3,....,b_6_0
 otteniamo b.
( muovi slider t e osserva la successione
 di valori b_i che diminuiscono fino a
tendere a zero da un certo punto in poi )

In generale ,se aumentiamo n facendo 
tendere n  a +∞, aumentano le suddivisioni 
del segmento b e i segmenti b_i , come hai
 già visto, diventano di misura sempre minore. 
La somma della successione infinita dei 
 segmenti b_i si approssima sempre 
di più alla misura del segmento b.

Notiamo che tutti i triangoli che vediamo,
 compreso ABC, sono simili tra loro

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A = (16, 4)
B = (6, 8)
C = (6, 4)
t1, c, a, b = Polygon(A, B, C)
f = OrthogonalLine(C, c)
D = Intersect(f, c)
g = OrthogonalLine(D, b)
E = Intersect(g, b)
h = OrthogonalLine(E, c)
F = Intersect(h, c)
i = OrthogonalLine(F, b)
G = Intersect(i, b)
j = OrthogonalLine(G, c)
H = Intersect(j, c)
k = OrthogonalLine(H, b)
I = Intersect(k, b)
t2, e, c_1, d = Polygon(C, D, E)
t3, g_1, e_1, f_1 = Polygon(E, F, G)
t4, i_1, g_2, h_1 = Polygon(G, H, I)
t5 = Strumento1(A, B, C, I)
J, K = Intersect(b, t5)
t6 = Strumento1(A, B, C, K)
L, M = Intersect(b, t6)
t7 = Strumento1(A, B, C, M)
N, O = Intersect(b, t7)
t8 = Strumento1(A, B, C, O)
P = (6, 3)
Q = (6, -1)
R = (16, -1)
t9, r, p, q = Polygon(P, Q, R)
l = OrthogonalLine(Q, q)
S = Intersect(l, q)
m = OrthogonalLine(S, p)
T = Intersect(m, p)
n_2 = OrthogonalLine(T, q)
U = Intersect(n_2, q)
s = OrthogonalLine(U, p)
V = Intersect(s, p)
t_2 = OrthogonalLine(V, q)
W = Intersect(t_2, q)
j_1 = OrthogonalLine(W, p)
Z = Intersect(j_1, p)
t10, q_1, p_1, s_1 = Polygon(P, S, Q)
t11, t_1, s_2, u = Polygon(S, U, T)
t12, v, u_1, w_{3} = Polygon(U, W, V)
A_1 = Intersect(b, c_1)
k_1 = Segment(C, A_1)
B_1 = Intersect(b, e_1)
C_1 = Intersect(b, g_2)
l_1 = Segment(B_1, C_1)
D_1 = Intersect(b, c_1)
m_1 = Segment(D_1, B_1)
E_1 = Point(b)
n_1 = Segment(C_1, E_1)
r_1 = Segment(B_1, C_1)
a_1 = OrthogonalLine(W, p)
b_1 = OrthogonalLine(Z, q)
F_1 = Intersect(b_1, q)
t13, z_1, w_1, d_1 = Polygon(W, F_1, Z)
n: 0
l1 = Sequence((k_1 * (b^(2) / c^(2))^(i)), i, 0, n - 1)
o = Sum(l1)
o_1 = Limit((k_1 * (1 - (b^(2) / c^(2))^(x)) / (1 - b^(2) / c^(2))), Infinity)
v_1 = Limit((b^(2) / c^(2))^(x), Infinity)
a_2 = Limit((b^(2) / c^(2))^(x), Infinity)
t: 0
l2 = Sequence((k_1 * (b^(2) / c^(2))^(i)), i, 0, t - 1)
testo3: "" + l1 + ""
testo2: "Somma(l1)=" + o + ""
b_2 = Sum(l2)
testo4: "Somma(l2)=" + b_2 + ""
G_1, H_1 = Intersect(b, t8)
t14 = Strumento1(H_1, A, B, C)
f_2 = OrthogonalLine(H_1, c)
I_1 = Intersect(f_2, c)
h_2 = OrthogonalLine(I_1, b)
J_1 = Intersect(h_2, b)
t15 = Strumento1(J_1, A, B, C)
t16 = Strumento1(A, B, C, J_1)
t17 = Strumento1(H_1, A, B, C)
t18 = Strumento1(A, B, C, H_1)
K_1, L_1 = Intersect(b, t16)
t19 = Strumento1(A, B, C, L_1)
M_1, N_1 = Intersect(b, t19)
t20 = Strumento1(A, B, C, N_1)
O_1, P_1 = Intersect(b, t20)
t21 = Strumento1(A, B, C, P_1)
Q_1, R_1 = Intersect(b, t21)
t22 = Strumento1(A, B, C, R_1)
S_1, T_1 = Intersect(b, t22)
t23 = Strumento1(A, B, C, T_1)
U_1, V_1 = Intersect(b, t23)
t24 = Strumento1(A, B, C, V_1)
W_1 = (5, 9)
Z_1 = (5.02, 3.52)
A_2 = (23, 3.46)
B_2 = (23, 9)
C_2 = (5, 3.22)
D_2 = (22.96, 3.16)
E_2 = (22.96, -1.58)
F_2 = (5, -1.54)
G_2 = (16.2, 5.2)
H_2 = (30.284282160241066, 5.116868423085839)
I_2 = (30.28, 3.16)
J_2 = (16.2, 3.16)
K_2 = (11.56, 3)
L_2 = (30.52, 2.96)
M_2 = (30.52, 1.48)
N_2 = (11.54, 1.52)
O_2 = (17.58, 1.22)
P_2 = (17.58, -1.78)
Q_2 = (30.7, -1.74)
R_2 = (30.68, 1.18)
w: 0
S_2 = (17.95434495337962, 9.944750507014444)
T_2 = (32, 10)
U_2 = (32, 7)
V_2 = (17.95434495337962, 6.944750507014444)
q1, i_2, t_{3}, u_2, v_2 = Polygon(S_2, T_2, U_2, V_2)
W_2 = (18, 6)
Z_2 = (32, 6)
A_3 = (32, 2)
B_3 = (18.04, 2.02)
q2, w_2, z_{3}, a_3, b_3 = Polygon(W_2, Z_2, A_3, B_3)
testo12: "b=\lim_{ n \to \infty }b₁\frac{1-(\frac{b^2}{c^2})^n}{1-(\frac{b^2}{c^2})}=b₁\frac{1-\lim_{ n \to \infty }(\frac{b^2}{c^2})^n}{1-(\frac{b^2}{c^2})}=b₁\frac{1-0}{1-\frac{b^2}{c^2}}=" + (LaTeX[o_1]) + "\\sostituiamo  b₁  con  la  1)  
b=b\frac{a^2}{c^2}\frac{1}{1-\frac{b^2}{c^2}} ,  riducendo  
c^2=a^2+b^2"
C_3 = (17.045655046620375, 0.7260697202777258)
D_3 = Intersect(z_{3}, a_3)
E_3 = (30, -2)
F_3 = (17.045655046620375, -2.2739302797222742)
testo1: "" + l2 + ""
minimo = 0 (slider from -5 to 5)
massimo = 8 (slider from -5 to 10)

Tool: Strumento1
Input: A, B, C, G
Output: t4

t1, c, a, b = Polygon(A, B, C)
f = OrthogonalLine(C, c)
D = Intersect(f, c)
g = OrthogonalLine(D, b)
E = Intersect(g, b)
h = OrthogonalLine(E, c)
F = Intersect(h, c)
i = OrthogonalLine(F, b)
j = OrthogonalLine(G, c)
H = Intersect(j, c)
k = OrthogonalLine(H, b)
I = Intersect(k, b)
t4, i_1, g_2, h_1 = Polygon(G, H, I)