C:\Users\maria sapuppo\Desktop\Pitagora\Esercizi\dimostrazioni geogebra\Geogebra\9La circonferenza inscritta di Simonsongeogebra-export

b

c

b-r

r

r

a-r

r

r

a

b

a-r

a-r

b-r

b-r

r

a-r

r

r

r

b-r

b-r

a-r

r

r

a

b

c

Q

Q_1

Q_2

Avanti

Indietro

Reset

Dimostriamo che Q ≡ Q_1 + Q_2
Nel disegno i tre quadrati sono stati suddivisi, come vedi in figura, in quadrati e rettangoli
 a due a due congruenti. Per fare ciò abbiamo prolungato i raggi della circonferenza inscritta 
dai punti di tangenza e quindi abbiamo tracciato dei segmenti paralleli ai lati del triangolo
 in modo da creare quadrati di lato  r, a-r e b-r e rettangoli di dimensioni (r,a-r),(r,b-r), (a-r,b-r)

Evidenziamo con lo stesso colore 
i quadrilateri congruenti

Cancelliamo i quadrati di lato a-r e b-r

Notiamo che i quadrilateri rimanenti in Q e in 
Q_1+Q_2 sono presenti in coppie. Per provare
 l'equivalenza tra Q e Q_1 + Q_2 è sufficiente 
prendere in considerazione un quadrilatero
 per ogni coppia.

b

a

Nei due rettangoli di dimensioni a e b il triangolo blu , di cateti a e b,
 è equivalente al triangolo composto dai tre quadrilateri evidenziati 
in Q_1+Q_2 ed entrambi i triangoli equivalgono a metà del rettangolo.
Il secondo rettangolo è composto dai quadrilateri di colore viola, 
verde e arancione che equivalgono a metà rettangolo e da 
un rettangolo blu che , quindi, equivale a metà rettangolo. 
Da cui deduciamo che l'insieme dei quadrilateri rimasti in Q_1+ Q_2 
equivale a quello rimasto in Q

Per provare l'equivalenza tra i quadrilateri rimasti in 
Q  e quelli rimasti in Q_1 +Q_2 introduciamo due rettangoli
 di dimensioni a,b che contengono i quadrilateri in esame
o superfici equivalenti ad essi

A = (6, 7)
B: (6, 3)
C = (9, 3)
t1, c, a, b = Polygon(A, B, C)
α = Angle(C, B, A)
f, g = AngularBisector(a, c)
h, i = AngularBisector(c, b)
j, k = AngularBisector(b, a)
D = Intersect(i, g)
E = Intersect(b, g)
F, G = Intersect(i, t1)
H, I = Intersect(k, t1)
β = Angle(A, C, D)
γ = Angle(D, C, B)
δ = Angle(D, A, C)
ε = Angle(B, A, D)
l = Segment(I, D)
m = Segment(D, E)
n = Segment(D, G)
p = OrthogonalLine(D, c)
J = Intersect(c, p)
d = Circle(D, J)
K = Intersect(c, b)
L = Intersect(a, b)
poli1, q, r, s, t, M, N = Polygon(K, L, 4)
O = Intersect(c, a)
poli2, e, f_1, g_1, h_1, P, Q = Polygon(L, O, 4)
poli3, i_1, j_1, k_1, l_1, R, S = Polygon(O, K, 4)
m_1 = OrthogonalLine(D, c)
n_1 = OrthogonalLine(D, b)
p_1 = OrthogonalLine(D, a)
T = Point(f_1)
q_1 = OrthogonalLine(T, f_1)
U = Point(m_1)
r_1 = OrthogonalLine(U, m_1)
V = Intersect(p_1, g_1)
s_1 = Segment(V, Q)
c_1 = Circle(M, s_1)
W = Intersect(c_1, r)
t_1 = OrthogonalLine(W, r)
Z = Intersect(t_1, t)
a_1 = Segment(Z, W)
A_1 = Intersect(d, n_1, 1)
B_1 = Intersect(c_1, n_1, 1)
b_1 = Segment(A_1, B_1)
C_1 = Intersect(q_1, h_1)
d_1 = Segment(T, C_1)
D_1 = Intersect(d, p_1, 1)
e_1 = Segment(D_1, V)
E_1 = Intersect(m_1, k_1)
F_1 = Intersect(d, m_1, 1)
f_2 = Segment(E_1, F_1)
G_1 = Intersect(r_1, j_1)
H_1 = Intersect(r_1, l_1)
g_2 = Segment(G_1, H_1)
h_2 = Segment(F_1, D)
i_2 = Segment(D, D_1)
j_2 = Segment(D, A_1)
I_1 = Intersect(c, a)
t2, k_2, l_2, l_3 = Polygon(I_1, L, K)
J_1 = (19.99666615869424, 3.0047100624061778)
u = Vector(I_1, J_1)
K_1 = Translate(I_1, u)
L' = Translate(L, u)
K' = Translate(K, u)
t2', k', m_2, l' = Polygon(K_1, L', K')
c_2 = Circle(D, F_1)
L_1 = Point(l')
v = Vector(F_1, L_1)
d_2 = Translate(c_2, v)
M_1 = Translate(D_1, v)
N_1 = Translate(A_1, v)
D' = Translate(D, v)
n_2 = Segment(L_1, D')
p_2 = Segment(D', N_1)
q_2 = Segment(D', M_1)
r_2 = Segment(K', D')
s_2 = Segment(J_1, D')
t_2 = Segment(D', L')
a_2 = Line(L', l')
b_2 = OrthogonalLine(K', a_2)
O_1 = Intersect(a_2, b_2)
e_2 = Segment(K', O_1)
f_3 = Segment(O_1, L')
Q_1 = (18.208838725707224, 4.9101577212475425)
q1, g_3, o_1, h_3, i_3 = Polygon(K', O_1, L', J_1)
P_1 = (26.419680359690602, 3.015290626209643)
w = Vector(J_1, P_1)
K'' = Translate(K', w)
R_1 = Translate(O_1, w)
L'' = Translate(L', w)
S_1 = Translate(J_1, w)
q2, m_3, d', n_3, p_3 = Polygon(L_1, D', M_1, J_1)
U_1 = Translate(L_1, w)
D'' = Translate(D', w)
V_1 = Translate(M_1, w)
W_1 = Translate(J_1, w)
T_1 = Intersect(c, b)
F_2 = Intersect(c, a)
G_2 = Intersect(a, b)
t3, a_3, b_3, c_3 = Polygon(T_1, F_2, G_2)
H_2 = (15.85621104891952, 3.05355291860242)
u_2 = Vector(F_2, H_2)
I_2 = Translate(T_1, u_2)
J_2 = Translate(F_2, u_2)
K_2 = Translate(G_2, u_2)
L_2 = Intersect(h_2, i_2)
g_4 = Segment(T_1, L_2)
M_2 = Intersect(c, a)
h_4 = Segment(M_2, L_2)
N_2 = Intersect(a, b)
i_4 = Segment(L_2, N_2)
O_2 = Intersect(f_2, g_2)
P_2 = Point(c)
poli4, j_4, k_4, l_4, m_4, Q_2, R_2 = Polygon(O_2, P_2, 4)
S_2 = Intersect(k_1, l_1)
T_2 = Intersect(l_1, g_2)
poli5, n_4, p_4, q_4, r_4, U_2, V_2 = Polygon(S_2, T_2, 4)
W_2 = Intersect(f_1, g_1)
Z_2 = Point(g_1)
poli6, s_4, t_4, a_4, b_4, A_3, B_3 = Polygon(W_2, Z_2, 4)
C_3 = Intersect(h_1, d_1)
poli7, c_4, d_4, e_4, f_5, D_3, E_3 = Polygon(A_3, C_3, 4)
F_3 = Point(b)
G_3 = Intersect(a_1, b_1)
poli8, g_5, h_5, i_5, j_5, H_3, I_3 = Polygon(F_3, G_3, 4)
J_3 = Intersect(r, a_1)
K_3 = Intersect(r, s)
poli9, k_5, l_5, m_5, n_5, L_3, M_3 = Polygon(J_3, K_3, 4)
N_3 = Intersect(j_1, k_1)
q3, p_5, q_5, o_2, v_2 = Polygon(N_3, R_2, O_2, V_2)
O_3 = Intersect(c, a)
P_3 = Intersect(s, t)
q4, r_5, o_3, s_5, t_5 = Polygon(T_2, O_3, P_2, O_2)
q5, a_5, b_5, c_5, d_5 = Polygon(O_3, E_3, A_3, B_3)
Q_3 = Intersect(g_1, h_1)
q6, e_5, f_6, g_6, z_2 = Polygon(A_3, C_3, Q_3, Z_2)
q7, h_6, i_6, j_6, k_6 = Polygon(F_3, G_3, J_3, D_3)
q8, l_6, m_6, n_6, p_6 = Polygon(G_3, L_3, P_3, H_3)
o: 0
minimo = 0 (slider from -5 to 5)
R_3 = Intersect(k', l')
S_3 = (15.300242299587794, 2.998727192592157)
w_2 = Vector(R_3, S_3)
d_3 = Translate(d_2, w_2)
U_3 = Translate(K_1, w_2)
L''_{1} = Translate(L', w_2)
k''_{1} = Segment(U_3, L''_{1})
V_3 = Translate(O_1, w_2)
L''_{2} = Translate(L', w_2)
e_3 = Segment(V_3, L''_{2})
K''_{1} = Translate(K', w_2)
W_3 = Translate(O_1, w_2)
f_4 = Segment(K''_{1}, W_3)
K''_{2} = Translate(K', w_2)
Z_3 = Translate(K_1, w_2)
l''_{1} = Segment(K''_{2}, Z_3)
L''_{3} = Translate(L', w_2)
K''_{3} = Translate(K', w_2)
q_6 = Segment(L''_{3}, K''_{3})
D''_{1} = Translate(D', w_2)
L''_{4} = Translate(L', w_2)
r_6 = Segment(D''_{1}, L''_{4})
K''_{4} = Translate(K', w_2)
D''_{2} = Translate(D', w_2)
s_6 = Segment(K''_{4}, D''_{2})
B_4 = Translate(J_1, w_2)
D''_{3} = Translate(D', w_2)
t_6 = Segment(B_4, D''_{3})
C_4 = Translate(L_1, w_2)
D''_{4} = Translate(D', w_2)
a_6 = Segment(C_4, D''_{4})
D''_{5} = Translate(D', w_2)
D_4 = Translate(M_1, w_2)
b_6 = Segment(D''_{5}, D_4)
D''_{6} = Translate(D', w_2)
E_4 = Translate(N_1, w_2)
c_6 = Segment(D''_{6}, E_4)
F_4 = Intersect(n_2, q_2)
d_6 = OrthogonalLine(F_4, n_2)
e_6 = OrthogonalLine(F_4, f_3)
G_4 = Intersect(e_2, g_3)
H_4 = Intersect(d_6, e_2)
I_4 = Intersect(e_6, f_3)
J_4 = Intersect(d_6, e_6)
f_7 = Segment(H_4, F_4)
g_7 = Segment(F_4, I_4)
t4, h_7, i_7, v_3 = Polygon(K''_{1}, V_3, L''_{1})
t5, j_7, k_7, d''_{1} = Polygon(K''_{1}, D''_{1}, E_4)
t6, l_7, m_7, n_7 = Polygon(K''_{1}, C_4, D''_{1})
t7, u_3, p_7, q_7 = Polygon(C_4, D''_{1}, U_3)
t8, r_7, s_7, t_7 = Polygon(U_3, D_4, D''_{1})
t9, a_7, b_7, c_7 = Polygon(D''_{1}, E_4, L''_{1})
t10, d_7, e_7, f_8 = Polygon(D''_{1}, D_4, L''_{1})
T_3 = Intersect(l', r_2)
t11, g_8, h_8, i_8 = Polygon(T_3, H_4, F_4)
A_4 = Intersect(l', n_2)
t12, j_8, k_8, l_8 = Polygon(T_3, A_4, F_4)
K_4 = Intersect(k', l')
L_4 = Intersect(k', q_2)
q9, m_8, n_8, p_8, q_8 = Polygon(A_4, K_4, L_4, F_4)
M_4 = Intersect(k', t_2)
t13, r_8, s_8, t_8 = Polygon(F_4, L_4, M_4)
N_4 = Point(f_3)
t14, a_8, b_8, c_8 = Polygon(F_4, N_4, M_4)
O_4 = Intersect(e_2, f_3)
q10, d_8, e_8, o_4, f_9 = Polygon(F_4, H_4, O_4, N_4)
massimo = 6 (slider from -5 to 10)