Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella nuova generazione di matematici che mostravano un vivo interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi, sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento dei matematici. Per prima cosa si servivano continuamente del computer, cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio. Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari, nel campo emergente del cosiddetto caos.
da: “Jurassic Park”, di Michael Crichton, 1991.
Il termine caos deterministico è un ossimoro: “caos” significa assenza di regole, irregolarità, imprevedibilità, mentre l’aggettivo “deterministico” significa regolare, prevedibile, e viene riferito a fenomeni ordinati e pianificabili. Questo concetto era già stato descritto i primi del Novecento dal fisico matematico francese Henri Poincaré, che studiando il moto di tre corpi che interagiscono mediante la forza di gravità aveva notato l’estrema sensitività delle traiettorie rispetto a piccole variazioni delle condizioni iniziali. Ma solo dagli anni Settanta si assiste a una crescente diffusione di questi risultati anche al di fuori della ristretta cerchia di matematici e fisici, fino a coinvolgere studiosi di scienze biologiche e sociali, psicologi e artisti, persino la stampa non specializzata, narrativa, cinema e salotti culturali. Una notevole spinta in questo senso è giunta dagli studi del matematico e meteorologo americano Edward Lorenz, che studiando i modelli matematici per le previsioni del tempo ha descritto con efficacia le conseguenze pratiche del caos deterministico. Comunque l’attenzione dei non specialisti fu attratta soprattutto dal titolo della sua comunicazione in un convegno del 1972: Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?. Dopo questa efficace metafora il termine “effetto farfalla” è diventato un’espressione ricorrente per indicare un evento macroscopico causato da una piccola causa, tipico del caos deterministico.
I modelli studiati da Lorenz erano costituiti da sistemi di equazioni differenziali, con almeno tre variabili dinamiche, ovvero qualcosa che non è nel bagaglio di conoscenze di chiunque. Un decisivo contributo alla popolarità di questo settore della matematica arriva nel 1976 con l’articolo Simple mathematical models with very complicated dynamics” del fisico e biologo inglese Robert May, che mostra come comportamenti caotici possano essere ottenuti mediante l’applicazione ripetuta di semplici funzioni di una variabile, di quelle che si studiano a scuola. Sono emblematiche le parole con cui May conclude il suo articolo, un appello che lui stesso definisce “predica evangelica”): “Questa equazione può essere presentata da un punto di vista fenomenologico iterandola con una calcolatrice, o persino a mano. Il suo studio non richiede più sofisticazione di quanto non richieda un corso elementare di matematica. Tale studio potrebbe in generale arricchire l’intuito di uno studente circa i sistemi non lineari. Non solo nella ricerca, ma anche nella vita politica ed economica di ogni giorno, noi saremmo più ricchi se un numero maggiore di persone si rendesse conto che semplici sistemi non lineari non possiedono necessariamente semplici proprietà dinamiche.”
Nello spirito di May proponiamo alcuni esempi operativi per mostrare come si possano generare successioni di numeri apparentemente casuali ed estremamente sensibili alle condizioni iniziali mediante l’applicazione ripetuta (iterazione) di semplici funzioni. Dato un numero x, l’applicazione di una funzione produce come risultato un unico numero y = f(x). Se al risultato così ottenuto si applica di nuovo la funzione si ottiene un terzo numero z=f(y)=f(f(x))=f 2(x). Si tratta di comporre la funzione f con se stessa. Analogamente si può calcolare f(z)=f 3(x) e così via. Si viene così a generare una successione di valori partendo dalla condizione iniziale x0: ogni valore successivo si ottiene in modo univoco (quindi perfettamente deterministico) dal valore precedente secondo lo schema induttivo (o iterativo) xn+1 = f(xn). Il caso più semplice consiste nell’iterare una funzione lineare, cioè nella forma f(x)= ax, dove a è una costante. In tal caso è facile calcolare i valori che si susseguono conoscendo solo il valore iniziale x0: x1 = ax0; x2=ax1=a(ax0)=x0a²; … xn=x0an. Si tratta di una successione esponenziale, detta anche progressione geometrica di ragione a, e si può dedurre l’andamento asintotico, cioè per n che tende all’infinito: se -1<a<1 allora xn converge a 0, se a>1 oppure a<–1 allora xndiverge. Se a=1 la successione rimane costante, se a=–1 si ha un andamento oscillatorio fra i valori x0 (per n pari) e –x0 (per n dispari) e si dice che la successione ha un andamento ciclico di periodo 2.
Premendo ripetutamente un tasto della calcolatrice si possono iterare anche altre funzioni, ad esempio f(x)= : partendo da x0=3 e spingendo il tasto “radice quadrata” si ottiene x1= e poi x2= 1.316 e quindi valori decrescenti che si avvicinano sempre più al valore limite 1; partendo invece da x0 =0.5 si ottiene x1= e poi valori crescenti che si avvicinano sempre più (per difetto) a 1. È ovvio che partendo da x0=1 si ottiene la successione costante: xn=1 per ogni n. Si dice allora che x=1 è un punto fisso: se da lì si parte, lì si resta. Lo studio delle successioni generate mediante l’applicazione ripetuta di una funzione può essere utile nella descrizione matematica di sistemi che evolvono nel tempo. Infatti, se la variabile xn viene interpretata come misura dello stato del sistema al tempo t=n, allora la funzione f assume il significato di operatore di avanzamento del tempo, e lo schema iterativo xn+1 = f(xn) diventa un modello dinamico che permette di calcolare lo stato del sistema in un certo periodo di tempo conoscendo lo stato nel periodo precedente. Ma la situazione può diventare molto complicata, anche utilizzando una funzione semplice come l’elevamento al quadrato, per esempio .
Facciamo qualche “esperimento numerico” utilizzando una calcolatrice tascabile (tasto x2 e poi si sottrae la costante b). Con b=0 l’iterazione converge a 0 se x0Î(-1,1) altrimenti diverge. Se b=1, a seconda delle condizioni iniziali scelte le successioni generate divergono oppure continuano ad oscillare avvicinandosi sempre più ad un ciclo periodico di periodo due, dato dall’alternarsi dei valori {-1,0}. In effetti, iniziando l’iterazione da uno di quei due valori, ad esempio x=0, si ottiene una sequenza perfettamente periodica: x1= –1= –1; x2= –1= (–1)2–1=0; invece, partendo da x0 =2 si ottiene x1=22-1=3; x2= 32-1= 8 e poi valori sempre più grandi. Le cose diventano ancor più complicate ponendo b=2. In questo caso, partendo ad esempio da x0=0.5 si ottiene un andamento talmente irregolare che se non conoscessimo il procedimento con cui l’abbiamo generato potremmo pensare che sia stato ottenuto prendendo valori estratti a caso nell’intervallo [-2,2].
C’è poi un altro problema: la traiettoria che si ottiene modificando leggermente la condizione iniziale, ad esempio con x0= 0,49, si ottengono valori quasi uguali ai precedenti nel corso delle prime 10 iterazioni, ma poi i numeri che si susseguono si discostano sempre di più da quelli della prima successione, fino a perdere ogni correlazione fra i valori delle due sequenze. Questa è l’essenza del caos deterministico.
Gian Italo Bischi
Università di Urbino
Per saperne di più
Bertuglia C.S., Vaio, F. (2003). Non linearità, caos e complessità, Bollati Boringhieri.
Bischi G.I., Carini R., Gardini L., Tenti P. (2004). Sulle Orme del Caos. Comportamenti complessi in modelli matematici semplici. Bruno Mondadori Editore.
Gleick J. (1987). Caos. La nascita di una nuova scienza, Sansoni, 1996.
Ruelle D. (1992). Caso e Caos, Bollati Boringhieri.
Stewart, I. (2017). Dio gioca a dadi? La nuova matematica del caos, Bollati Boringhieri
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