I numeri primi sono gli interi positivi che hanno esattamente due divisori; con un po’ di pazienza non è difficile compilare una lista dei più piccoli di questi interi, e cioè 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . Incontriamo i numeri primi molto presto nella nostra istruzione matematica, già nei primi anni della scuola media, pardon, della scuola secondaria di primo grado: questo forse genera la convinzione che si tratti in fondo di un argomento “elementare” sul quale si sa tutto quello che si vorrebbe sapere e che non ci sia niente di nuovo da aggiungere. Niente potrebbe essere più lontano dalla realtà, come cercherò di spiegare in questo intervento. I numeri primi sono importanti perché, come sapevano già i matematici greci dell’antichità, ogni intero da 2 in avanti che non sia un numero primo può essere scomposto in fattori primi e questa scomposizione è unica, a parte l’ordine con cui prendiamo i fattori. Per esempio, 60 = 22 · 3 · 5, che potremmo anche scrivere nella forma 3 · 2 · 5 · 2 o in altri modi ancora, ma in ogni caso troveremo due fattori uguali a 2, un fattore uguale a 3 ed uno uguale a 5. Analogamente, possiamo affermare con certezza che 112 ≠ 7 · 17 anche senza svolgere i calcoli, perché tutti i numeri che ho scritto sono primi.
Un’altra scoperta fondamentale, riportata da Euclide nei suoi “Elementi”, riguarda il fatto che i numeri primi sono infiniti. È vero che tendono lentamente a diradarsi, in modo regolare ma non troppo, ma non esiste il “più grande numero primo,” cioè la lista non si esaurisce mai. La dimostrazione data da Euclide è puramente aritmetica, e questo può aver influito sul pregiudizio che si tratti di un argomento elementare. Dopo secoli di silenzio sulle proprietà dei numeri primi, il grande matematico svizzero Leonhard Euler (o Eulero, se preferite) ha trovato un’altra dimostrazione del Teorema di Euclide che ho citato sopra, ma questa volta, pur essendo presenti elementi aritmetici, la dimostrazione contiene una parte che oggi potremmo classificare come analisi matematica. Per la precisione, Eulero ha usato le proprietà della serie geometrica, già note agli antichi greci, e il fatto che la cosiddetta “serie armonica” (la serie dei reciproci dei numeri interi positivi) è divergente; quest’ultimo fatto è stato dimostrato nel medioevo da Nicole d’Oresme. Potremmo dire che Eulero ha portato a termine con successo una contaminazione fra varie aree della matematica per dare una dimostrazione alternativa di un risultato vecchio di duemila anni. Ma che senso ha cercare una nuova dimostrazione di una cosa che già si sapeva? Non bastava la dimostrazione di Euclide? Con la nostra prospettiva storica possiamo certamente dire di no: le idee di Eulero hanno fondato una disciplina che per l’appunto riguarda lo studio dei numeri primi con tecniche non aritmetiche, ma che provengono dall’analisi matematica. Queste idee sono state molto feconde e il loro impatto è ancora percepibile nella matematica odierna.
Qualche decennio dopo Eulero, e cioè alla fine del XVIII secolo, il matematico francese Adrien-Marie Legendre e il tedesco Carl Friedrich Gauss si sono fatti una domanda cruciale sulla distribuzione dei numeri primi; ciascuno dei due ha dato una formula (del tutto ipotetica) che permette di calcolare approssimativamente quanti sono i numeri primi che non superano una certa soglia, senza doverli elencare tutti esplicitamente. La formula di Gauss è leggermente più precisa di quella di Legendre, come oggi sappiamo. I tentativi di dimostrare che, entro i loro limiti, le formule di Legendre e Gauss sono valide hanno attraversato tutto il XIX secolo. L’idea di Eulero, di usare tecniche proprie dell’analisi matematica, si è rivelata importante ma insufficiente. Alcuni matematici si sono avvicinati moltissimo alla dimostrazione, ma l’ultimo, decisivo passaggio ha eluso tanti, e per decenni. Il passo finale è arrivato sul finire del secolo ed è dovuto indipendentemente a Jacques Hadamard e Charles-Jean de la Vallée Poussin. Il loro lavoro si è basato in modo essenziale sui risultati pubblicati circa quarant’anni prima da un matematico tedesco, Georg Bernhard Riemann, insieme a Eulero e Gauss uno dei giganti della matematica di tutti i tempi. L’articolo di Riemann ha segnato un’altra svolta epocale nella storia che sto raccontando, paragonabile a quella di Eulero. Riemann, infatti, ha dimostrato che la chiave per capire davvero i numeri primi sta nel fare un ulteriore passo avanti rispetto a quello, già importantissimo, fatto da Eulero.
Per spiegare questo fatto è necessario ricordare i numeri complessi, che si introducono quando si risolvono le equazioni polinomiali che non hanno soluzioni reali. Chi conosce l’analisi reale (limiti, derivate, integrali, sviluppi in serie…) sa che questa può essere estesa in vari modi, per esempio in più dimensioni (derivate parziali, integrali multipli…) ma anche utilizzando funzioni che hanno come argomento un numero complesso e come valore un altro numero complesso. I polinomi possono essere facilmente calcolati per valori complessi della variabile, ma anche le funzioni familiari dell’analisi matematica, quali quelle trigonometriche o esponenziali, hanno la loro controparte complessa. La scoperta fondamentale di Riemann è stata che una certa funzione già studiata da Eulero proprio in relazione ai numeri primi, e cioè la cosiddetta funzione zeta, è intimamente legata ai numeri primi, ma questo legame si rivela in tutta la sua forza solo se ne consideriamo l’estensione ai numeri complessi. Non posso entrare nei dettagli in questo contesto, naturalmente; mi limito a dire che le idee di Riemann sono state sviluppate in molte direzioni negli ultimi cento sessant’anni e che hanno dato impulso a innumerevoli ricerche sui numeri primi e non solo. Nonostante questo, restano ancora diversi “problemi aperti” che riguardano i numeri primi e le nostre conoscenze non sono ancora così dettagliate e precise come ci piacerebbe che fossero.
Alessandro Zaccagnini
Università di Parma
Per saperne di più
Dimostrazione di Eulero [1]; dimostrazione delle formule congetturate da Gauss e Legendre [2].
- Zaccagnini. La matematica è piena di Eulero! Infinità dei numeri primi. Sito web MaddMaths!, 2024. Online dal 23.3.2024. https://maddmaths. simai.eu/divulgazione/eulero/eulero-1/.
- Zaccagnini. Il Teorema dei Numeri Primi. Rivoluzioni matematiche. I grandi Teoremi da Pitagora a Nash. Le Scienze, Giugno 2024.
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