Nel 1960, il Premio Nobel per la fisica Eugene Wigner ha scritto un piccolo libro di filosofia della matematica di grande successo sull’Irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali. In effetti, come già osservato da Galileo, il mondo sembra scritto in caratteri matematici e al giorno d’oggi nulla può dirsi scienza se non poggia sul linguaggio della matematica. Anche se siamo ormai abituati a ciò, e addirittura nei modi di dire di tutti i giorni associamo la certezza e il rigore a questa disciplina (è matematico; i numeri non mentono), il fatto che le leggi della natura obbediscano alla matematica, che altro non è che una creazione della mente dell’essere umano, potrebbe continuare a stupirci.
Tanto più che ormai la matematica non è efficace solo nelle scienze naturali, ma negli ambiti più disparati, dalle scienze sociali, all’analisi dei testi delle canzoni o dei libri per scoprire l’autore di un testo, dalla costruzione della squadra di baseball perfetta (col calcio ancora non funziona bene) ai metodi per vincere in un’elezione contro il favore degli elettori. La matematica è potente nel descrivere il mondo e chi sa utilizzarla per il proprio tornaconto ha a disposizione un vantaggio enorme. Perché la matematica è così onnipresente e descrive così bene la natura e le più disparate attività umane?
Per rispondere a questa domanda, dobbiamo prima capire cosa è (e cosa non è) la matematica. È molto diffusa l’idea che la matematica consista nel fare conti, da quelli più elementari (come somme e moltiplicazioni) a quelli più complessi (come gli integrali). Spesso si sentono anche citare in contrapposizione matematica e geometria, nella scuola primaria, identificando la matematica con l’aritmetica e considerando la geometria come qualcosa di diverso dalla matematica. Questa visione tecnica di una matematica fatta di conti contribuisce alla sua cattiva fama. Però la matematica non è così, semplicemente è così che viene immaginata.
Ovviamente i conti e la tecnica fanno parte della matematica, così come le scale musicali fanno parte della musica, ma è sicuramente riduttivo pensare che la matematica coincida con la sua parte più tecnica. Nell’antichità buona parte della matematica è nata con l’intento di descrivere e misurare il mondo (la geometria serve a misurare la Terra, l’aritmetica per contare oggetti e commerciare). Spesso la matematica è stata costruita proprio con in mente un’applicazione precisa. Tutt’oggi funziona così per la matematica applicata. Ma ciò che ci colpisce è che spesso sia la matematica pura, quella nata per semplici motivi di curiosità interni alla matematica stessa, a trovare applicazioni impensabili.
Per fare giusto un esempio, nel 1917 due matematici puri che si interessavano di analisi funzionale, Radon e Nikodym, introducono uno strumento per trasformare alcune funzioni in altre funzioni. La trasformata (e l’antitrasformata) di Radon-Nikodym cinquantatré anni dopo la sua scoperta sarà sfruttata da un fisico e un ingegnere per costruire la macchina per la TAC: un risultato matematico totalmente teorico e slegato dalla realtà improvvisamente diventa fondamentale per salvare delle vite. È questo lo strano fenomeno che vogliamo capire: come può la matematica pura descrivere così bene la realtà? Come può la matematica nata con uno scopo specifico in testa essere utile anche in un contesto totalmente differente?
Nel secolo tra il 1830 e il 1930 c’è stata una rivoluzione che ha portato alla riscrittura dei fondamenti della matematica, alla definizione di concetti che prima erano lasciati all’intuizione, una nuova comprensione del concetto di infinito e soprattutto al cambio di idea di cosa è una teoria matematica. Euclide aveva creato la matematica ipotetico-deduttiva, in cui a partire da verità evidenti con la logica si trovavano altre verità. La scoperta delle geometrie non euclidee costringe a un cambio di punto di vista. Non ci si può più basare su supposte “verità evidenti”. Hilbert propone di considerare una teoria matematica come costruita a partire da concetti primitivi indefiniti (per la geometria euclidea: punto, retta, piano, contiene, sta tra, congruenza) e assiomi. Gli assiomi definiscono in maniera indiretta i concetti primitivi (ad esempio, ogni retta contiene almeno due punti). Ogni volta che si trova un modello in cui si riescono a interpretare alcuni pezzi come gli enti primitivi della teoria in modo tale che gli assiomi siano verificati, allora in esso valgono anche tutti i teoremi dimostrati in tale teoria.
La matematica non viene più costruita avendo in testa un’idea a priori di un modello, ma lavorando in maniera astratta a partire dagli assiomi. In tal modo ci sarà la libertà in seguito di interpretare in maniera diversa i concetti primitivi, a patto di soddisfare gli assiomi. Hilbert dirà “Non importa che si parli di punti, rette e piani o tavoli, sedie e boccali di birra”. Quello che è ora al centro della matematica è l’idea di struttura, ovvero l’essenziale, lo scheletro di un problema o di un oggetto a cui si è interessati. Lasciando perdere l’inessenziale, si può ragionare meglio su ciò che resta e – soprattutto – si può riutilizzare quanto scoperto in un ambito totalmente diverso, che però condivide la stessa struttura con l’ambito in cui è avvenuta la scoperta originaria. Questa condivisione della struttura matematica fra problemi apparentemente diversi tra loro permette anche di fare connessioni profonde tra questi ambiti, fornendo così degli spunti per fare nuove scoperte. Osservazioni banali in uno dei due ambiti si trasformano in scoperte fondamentali nell’altro. Tutto ciò non sarebbe possibile senza la grande astrazione della matematica.
Periodicamente si sente dire che la matematica che viene insegnata a scuola è troppo astratta e che bisognerebbe insegnare della matematica più applicata o attinente alla realtà. Chi lo dice, ahinoi, non ha capito cos’è, come funziona e perché si applica la matematica. Se togliamo l’astrazione alla matematica, scompare la matematica. E con essa, anche le sue applicazioni. La matematica descrive bene il mondo proprio grazie alla sua astrazione e al suo non aver apparentemente nulla a che fare con il nostro mondo.
Alberto Saracco
Università di Parma
Per saperne di più
P. Lockhart, Contro l’ora di matematica. Un manifesto per la liberazione di professori e studenti, Rizzoli
S. Mongodi, Di serpenti, frullatori e libri gialli (e dati, analisi e statistiche), MaddMaths: https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/serpenti-frullatori/
P. Wigner, L’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali, Adelphi
Dal nostro catalogo: Le geometrie oltre Euclide, Manuale di sopravvivenza nell’era della disinformazione, Risolvere problemi matematici