Come scegliamo? Si può porre questa domanda da molti punti di vista: psicologico, filosofico o anche economico. Gli obiettivi di una scelta tra tante alternative sono almeno di due tipi possibili: sceglierne una, oppure fare una classifica tra varie alternative.
Come affronta la matematica il problema della scelta? Si parte assumendo che gli individui che devono effettuare le scelte siano razionali. Il primo passo nel rappresentare un comportamento razionale consiste nel saper esprimere delle preferenze su un insieme di alternative A. Si possono dare definizioni di vario tipo in questo contesto, qui ci interessiamo a quel che di solito si chiama un preordine completo, cioè una relazione binaria tra elementi di A, indicata per esempio con il simbolo \(≽ \) (dove \( a ≽ b \) indica che l’alternativa \( a \) non è peggiore dell’alternativa \( b \)) e verifica i seguenti assiomi:
- per ogni \( a\in A\), \( a ≽ a \);
- per ogni \( a,b,c \in A \), \( a≽b≽c\), implica \(a≽c\);
- per ogni \( a,b \in A\), è \( a≽b\) oppure \(b≽a\).
La prima proprietà, riflessività, ci dice semplicemente che la preferenza non è stretta (infatti sopra abbiamo scritto che \( a \) non è peggiore di \( b \), non che è migliore di \( b \)); la seconda proprietà, detta transitività, è una richiesta di coerenza; l’ultima relazione infine ci dice che si deve sempre poter confrontare due alternative: notare che possono sussistere contemporaneamente le due relazioni \( a ≽ b \) e \( b≽a \), che indica il fatto che tra \( a \) e \( b \) nessuna delle due è meglio o peggio dell’altra. Questa terza ipotesi si dice che il preordine, cioè la relazione che soddisfa le prime due, è completo, o totale.
Dunque, il primo ingrediente che l’agente razionale considera è una classifica sulle alternative, che consiste nel metterle in ordine in maniera coerente (transitività) ammettendo eventualmente pareggi. Però a volte è comodo, perfino necessario, assegnare una funzione di utilità al preordine completo che abbiamo sull’insieme \( X \) delle alternative. Una funzione \( u:X \to R \) si dice funzione di utilità associata al preordine \(≽ \) se accade che, per ogni coppia di alternative \( x,y \) si ha che \( u(x) \geq u(y) \) se e solo se \( x ≽ y \).
Selezionare una funzione di utilità è un ulteriore gradino nella costruzione dell’agente razionale. Il gradino successivo, nella scala del comportamento, che va scalato per prendere decisioni razionali, è il caso in cui si devono prendere decisioni in condizioni di incertezza. In questo caso, tra due alternative, è lecito aspettarsi che un individuo razionale scelga quella che gli fornisca un’utilità attesa\(^1\) maggiore.
Posta così la questione, possiamo sfidare chiunque a trovare qualcuno che dissente da questo principio. Eppure, nella pratica, molti fanno proprio questo. Magari facendosi un’idea della miglior scelta da effettuare valutando le differenze fra le alternative, e poi cambiando idea quando conoscono le cose in comune. Quindi non solo la “cosa certa” viene usata per scegliere tra lotterie, ma addirittura fa cambiare idea quando ce ne eravamo già fatta una. Se non ci credete allora dovete assolutamente conoscere il “paradosso di Allais”.
Maurice Allais (1911-2010), è stato un ingegnere ed economista francese, che nel 1988 vinse il premio Nobel per l’Economia. Nel 1952 si teneva a Parigi il “Colloque international sur le risque”, a cui avrebbero partecipato i migliori ricercatori in ambito di teoria delle decisioni. Durante il simposio, Allais propose tutta una serie di problemi decisionali, tra cui quello al centro di questa storia. Si tratta di una coppia di problemi decisionali, apparentemente scollegati:
1 – Quale delle due seguenti scommesse preferisci?
a) 100% di probabilità di vincere 100 milioni di franchi;
b) 89% di probabilità di vincere 100 milioni di franchi
1% di probabilità di non vincere nulla
10% di probabilità di vincere 500 milioni di franchi.
2 – Quale delle due seguenti scommesse preferisci?
c) 89% di probabilità di non vincere nulla
11% di probabilità di vincere 100 milioni di franchi;
d) 90% di probabilità di non vincere nulla
10% di probabilità di vincere 500 milioni di franchi.
La maggior parte delle persone che si trovano di fronte queste alternative sceglie: la (a) tra le prime due alternative, e la (d) fra le altre due.
Questo è un paradosso. Consideriamo agenti razionali le cui preferenze abbiano tutte le proprietà passate in rassegna precedentemente (riflessività, transitività, completezza) e che esista una funzione di utilità \(u(x)\) assegnata al preordine completo sull’insieme delle alternative disponibili.
Se si preferisce (a) rispetto a (b) allora, nei termini dell’utilità attesa:
\[ EU(a) > EU(b) \]
cioè
\[ u(100)>0,89*u(100)+0,1*u(500) \qquad(1) \]
In sé questa è una scelta legittima, pur dimostrando un elevato grado di avversione al rischio. In poche parole la possibilità di vincere molto di più non viene considerata così attrattiva da giustificare un 1% di probabilità aggiuntiva di non vincere nulla.
La seconda scelta invece rivela che:
\[ EU(d) > EU(c) \]
cioè
\[ 0,1*u(500)>0,11*u(100) \qquad(2) \]
A occhio c’è già qualcosa che non quadra. In questa situazione invece la maggior vincita potenziale giustifica la scelta della lotteria (d), anche se c’è un 1% di probabilità in meno di ottenerla. Può la stessa persona effettuare questa coppia di scelte ed essere coerente coi principi dell’utilità attesa? Andiamo a riscrivere la (2) usando il fatto che \(0,11*u100=1-0,89*u100\):
\[ 0,1*u(500)>u(100)-0,89*u(100) \qquad(2.1) \]
che riorganizzata diventa:
\[ 0,89*u(100)+0,1*u(500)>u(100) \qquad(2.2) \]
che è l’opposto della (1). Le due scelte implicano due condizioni opposte: ecco un paradosso, il Paradosso di Allais.
Non sono mancati i tentativi di spiegazioni con teorie diverse da quella dell’utilità attesa. Fu lo stesso Allais a suggerire, in un lavoro pubblicato nel 1988, che la distorsione delle probabilità oggettive effettuata dai decisori potesse permettere di spiegare le scelte effettuate nei questionari che hanno originato il suo famoso paradosso.
Una teoria che ipotizza un agente perfettamente razionale è utile per avere un riferimento chiaro; ma poi l’osservazione pratica del comportamento mostra come gli agenti si discostino dalle previsioni teoriche e necessitano teorie alternative che permettano di allargare lo spettro dei fenomeni che vengono spiegati.
Roberto Lucchetti e Fabio Tramontana
\( ^1\) L’Utilità Attesa di una scelta \( s \) che può avere \( n \) conseguenze \( s_1, s_2, … , s_n \) a cui corrispondono le utilità \( u(s_1), u(s_2), …., u(s_n)\) e che si verificano con probabilità \( p_1, p_2, … , p_n \) (con \( p_1+p_2+…+p_n=1\) ) si calcola così: \( EU(s) = \sum_{i=1}^{n} p_i u(s_i)\). La teoria dell’utilità attesa è stata formulata inizialmente da D. Bernoulli ed ha trovato una sua rigorosa formulazione nel lavoro di von Neumann e Morgerstern.
Sintesi di Roberto Lucchetti e Fabio Tramontana, “Scelte, incertezza e il paradosso di Allais”, Nuova Lettera Matematica, 5 Nuova Serie, Scienza Express Edizioni, 118-129 (2024).
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