Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) è stato, insieme a D. Hilbert e H. Poincaré, uno degli ultimi giganti a proprio agio in ogni branca della matematica. Non è facile ricapitolare i suoi tanti contributi alla scienza: la sua attività è stata così vasta ed articolata che è praticamente impossibile riassumerla in poche righe. Nei sui lavori, anche in quelli più brevi, Kolmogorov non ha quasi mai toccato problemi isolati, ma spesso ha gettato luce su aspetti fondamentali aprendo nuovi campi di ricerca. Proprio per la vastità delle sue ricerche, molti studiosi, anche importanti matematici, conoscono Kolmogorov solo per alcuni particolari aspetti della sua multiforme attività. Ricorda con una certa ironia il suo allievo V.I. Arnold: Nel 1965 Fréchet mi disse “…Kolmogorov, non è quel brillante giovane che ha costruito una funzione integrabile con serie di Fourier divergente quasi ovunque?” Tutti i successivi contributi di Andrei Nikolaevich – in teoria della probabilità, topologia, analisi funzionale, teoria della turbolenza, teoria dei sistemi dinamici – erano di minor valore agli occhi di Fréchet.
Orfano di madre dalla nascita, viene allevato da una zia materna (Vera Y. Kolmogorova) che gli trasmise, nelle sue parole, il senso di responsabilità individuale e di indipendenza di pensiero.
Il piccolo Andrei si rivela subito molto precoce (a 5 anni era già in grado di dimostrare che la somma dei numeri dispari \(1+3+ … + (2n-1) \) è il quadrato di \(n\)). Dopo aver lavorato per qualche tempo come conduttore di tram, entrò a 17 anni all’Università di Mosca, inizialmente voleva occuparsi di storia poi cambiò idea e si dedicò alla matematica. Era quello un periodo molto difficile per la nuova URSS alle prese con guerre civili e ristrettezze di ogni tipo. Quando scoprì che gli studenti del secondo anno ricevano anche una razione aggiuntiva mensile di 16 kg di pane e 1 kg di lardo, sostenne subito gli esami per passare all’anno successivo.
Alla laurea in matematica, nel 1925, ha già all’attivo diverse pubblicazioni scientifiche, tra le quali un fondamentale lavoro, del 1922, sulle serie di Fourier che lo rende noto a livello internazionale. Alla fine del dottorato, a 26 anni, ha gettato le basi della moderna teoria delle probabilità.
Nel 1931 Kolmogorov è nominato professore all’Università di Mosca, presso la quale svolgerà tutta la sua attività scientifica (salvo brevi periodi in Francia ed in Germania).
Nel 1933 appare in tedesco la sua monografia Concetti Fondamentali della Teoria delle Probabilità, è questo forse il contributo più importante della prima fase della sua ricerca: la sistematizzazione della teoria delle probabilità su una base assiomatica che va oltre la storica disputa tra frequentisti e soggettivisti.
Il processo di formalizzazione iniziato con Borel e culminato con il libro di Kolmogorov non è stato una pedanteria ma un’inevitabile necessità tecnica. Il linguaggio colloquiale non sempre è in grado di evitare situazioni che suonano paradossali, in particolare dire “a caso” spesso non ha molto senso e un approccio matematico non può essere evitato.
Un modo per capire questa necessità è considerando il seguente problema proposto verso la fine dell’ottocento dal matematico francese Bertrand: dato un cerchio, si disegni una corda a caso, calcolare la probabilità che la lunghezza della corda sia maggiore del lato del triangolo equilatero inscritto. Si possano dare tre risposte tutte apparentemente “naturali”, ottenendo tre risultati diversi: \(1/3\), \(1/2\) ed \(1/4\). L’origine della difficoltà è chiara se si considera un problema del tutto equivalente: una persona parte alle 13 e deve percorrere 100 chilometri, sapendo che andrà ad una velocità tra 50 e 100 chilometri all’ora, qual è la probabilità che arrivi prima delle 14:30? Un modo di ragionare è il seguente: se viaggia a 100 chilometri all’ora arriverà alle 14, se viaggia a 50 all’ora arriverà alle 15, posso assumere che il tempo di arrivo sia uniformemente distribuito tra le 14 e le 15 quindi la probabilità cercata è \(1/2\). Sembra convincente, però si può ragionare in un altro modo: poiché viaggia con velocità tra 50 e 100 chilometri orari posso assumere che la velocità sia uniformante distribuita tra questi due valori. Per arrivare prima delle 14:30 deve viaggiare ad una velocità maggiore di 66,666.. chilometri orari, l’intervallo tra 66,666.. e 100 è due terzi dell’intervallo tra 50 e 100 quindi la probabilità cercata è \(2/3\). Quale dei due argomenti è giusto? Semplicemente il problema è mal posto e le due “soluzioni”, che sembrano naturali, non sono altro che assunzioni sulla distribuzione di probabilità, nel primo modo di ragionare è stato assunto che il tempo sia uniformemente distribuito, nel secondo la velocità.
Tra la fine dell’ottocento e l’inizio del novecento divenne chiara la necessità di procedere in modo sistematico. Non è certo un caso che D. Hilbert nel suo celebre discorso al congresso mondiale della matematica del 1900 di Parigi tra i 23 problemi aperti propose di trattare in modo assiomatico quelle parti delle scienze fisiche in cui la matematica gioca un ruolo importante; in particolare la teoria della probabilità. La monogarfia del 1933 può essere vista come è il punto culminante di un lungo processo di formalizzazione iniziato da E. Borel e poi continuato (oltre che da Kolmogorov) da P.F. Cantelli, P. Lévy, M. von Mises, M. Fréchet e A.A. Khinchin.
Il libro di Kolmogorov venne originariamente pubblicato in tedesco, all’epoca la lingua più importante per la matematica, per ovviare a possibili critiche dopo pochi anni venne pubblicato in russo. Quando il libro uscì, un ministro sollevò delle perplessità riguardo al concetto di indipendenza e chiese se fosse compatibile con il determinismo del materialismo dialettico alla base del marxismo-leninismo. Kolmogorov dovette rispondere, secondo la leggenda (riportata su diversi libri, ed accreditata anche da suoi studenti) riuscì a cavarsela brillantemente con questa risposta: Compagno ministro, immagini un remoto villaggio dove c’è una lunga siccità. I contadini disperati chiedono al pope di pregare per la pioggia. Il pope celebra il rito ed il giorno dopo piove. Ebbene la pioggia e la preghiera sono due eventi indipendenti.
L’interesse di Kolmogorov per la teoria delle probabilità non è stato limitato al solo livello tecnico e formale; negli anni 30 getterà infatti le basi della teoria dei processi stocastici che lo porterà negli anni ’40 e ’50 ad interessarsi di diversi problemi fisici e biologici. In molti di questi lavori, il suo contributo ha addirittura rivoluzionato la nostra visione del problema, come nel caso della turbolenza dove i risultati di Kolmogorov rimangono ancora, dopo 80 anni, tra i pochi punti certi della nostra comprensione, a tutt’oggi non completa, di questo complesso fenomeno. Proprio il problema della turbolenza (cioè del moto irregolare dei fluidi ad alti numeri di Reynolds) dà un’idea della straordinaria versatilità di Kolmogorov: allo studio formale matematico del problema egli alterna, in prima persona, l’analisi statistica dei dati sperimentali della turbolenza atmosferica. Scrive il suo allievo Ya. G. Sinai nella prefazione di un libro pubblicato nel 2003 per commemorare i 100 anni della nascita di ANK: Quando Kolmogorov aveva circa 80 anni gli chiesi della sua scoperta delle leggi di scala. Mi diede una risposta stupefacente dicendomi che per circa mezzo anno aveva studiato i risultati delle misure sperimentali.
La sua descrizione teorica della turbolenza è stata di vastissima generalità: l’introduzione del concetto di invarianza di scala è infatti alla radice di importanti sviluppi della meccanica statistica degli anni ’70. Un secondo fondamentale contributo alla turbolenza agli inizi degli anni ’60, in risposta ad un’osservazione del grande fisico teorico Lev D. Landau sulle fluttuazioni intermittenti dell’energia dissipata, è stato il punto di partenza di studi (ancora in corso) sulla fluttuazioni anomale a piccola scala. La sua teoria lognormale per la turbolenza, anche se ormai in parte superata, è ancora alla base dei processi stocastici intermittenti (multiaffini o multifrattali) che trovano oggi applicazioni dalla finanza alla geofisica.
Alla fine degli anni ’30 Kolmogorov, in collaborazione con Petrovsky e Piscounov, studia l’evoluzione spaziale di specie biologiche introducendo un sistema di equazioni che è alla base dei moderni studi di sistemi di reazione-diffusione. Da questo studio pionieristisco è nato il settore dei sistemi di equazioni alle derivate parziali con reazione-diffusione che ha applicazioni che spaziano dalla diffusione di epidemie, all’evoluzione di complessi processi chimici come il bilancio dell’ozono e la combustione.
Occupandosi di problemi biologici nell’Unione Sovietica stalinista, Kolmogorov si trova a contrastare il potente accademico Lysenko (che sosteneva una violenta campagna contro la genetica in quanto, a suo avviso, non conforme al materialismo dialettico): una disputa scientifica che alcuni eminenti biologi sovietici pagarono a durissimo prezzo. Trofim D. Lysenko, un agronomo e biologo, deve la sua fama ad un iniziale successo nella tecnica della “vernalizzazione” grazie alla quale è possibile ottenere raccolti invernali di cereali seminando in estate. Purtroppo Lysenko non si limitò ad aspetti pratici, ma entrò nel vivo della teoria genetica scatenando una battaglia ideologica contro la scienza accademica, i principi della genetica e le leggi di Mendel. Nella sua “teoria” l’eredità dei caratteri sarebbe influenzata da fattori ambientali, Lysenko ebbe l’appoggio del Partito Comunista e di Stalin in persona.
La tesi proposta da Lysenko costituiva un notevole passo indietro rispetto a Darwin. Nella sostanza non era altro che la vecchia idea di Lamarck sull’ereditarietà: le caratteristiche che risultano vantaggiose in un dato ambiente sono trasmesse alle generazioni successive senza essere codificate nel progetto dell’organismo.
La scuola genetica sovietica venne annientata: alcuni scienziati che si opposero furono incriminati e condannati per sabotaggio. Le idee di Lysenko, applicate all’agricoltura sovietica, ebbero esiti disastrosi, riducendo notevolmente la produzione dei cereali. Nonostante questo Lysenko conservò la sua influenza per lungo tempo anche dopo la morte di Stalin, il caso Lysenko ebbe ripercussioni anche a livello internazionali. Negli anni ’50 gli organi direttivi di praticamente tutti partiti comunisti accettarono la “teoria Lysenko”, questo provocò la fuoriuscita di non pochi intellettuali e scienziati.
Tra i pochi che coraggiosamente cercarono di opporsi a Lysenko ci fu Kolmogorov che, con un dettagliato studio, mostrò come le statistiche presentate da Lysenko ed i suoi collaboratori erano state falsate. Kolmogorov usò il fatto, apparentemente paradossale, che in ambito probabilistico imbrogliare sui dati è difficile: è possibile ma bisogna essere bravi! Lysenko non lo era, se ne accorsero i cittadini sovietici che subirono sulla loro pelle le carestie provocate dalla politica agricola basata sulle teorie di un ciarlatano.
Altri contributi importanti di Kolmogorov allo sviluppo della scienza del ’900 riguardano la teoria dell’informazione, la definizione di complessità e la dinamica non lineare. Kolmogorov fu tra i pochi matematici a comprendere immediatamente la rilevanza, non solo pratica, della teoria di Shannon. Scrive lo stesso Kolmogorov: Ricordo che anche al Congresso Internazionale dei Matematici di Amsterdam del 1954 i miei colleghi americani, in particolare gli esperti di probabilità, vedevano il mio interesse per il lavoro di Shannon come qualcosa di eccessivo in quanto la tematica sarebbe stata di rilevanza tecnologica ma non matematica. Oggi queste opinioni non meritano neanche una risposta.
La sistematizazione matematica della teoria avvenne nella seconda metà degli anni ’50 principalmente per opera di Khinchin, Gelfand e Yaglom, oltre che dello stesso Kolmogorov. Particolarmente significativo è stato l’utilizzo di concetti della teoria dell’informazione nell’ambito dei sistemi dinamici; questo ha portato all’introduzione di quella che oggi è chiamata entropia di Kolmogorov-Sinai. Questa quantità misura l’informazione generata nell’unità di tempo nei sistemi caotici.
Nel 1965, Kolmogorov propone una misura (non ambigua e matematicamente ben fondata) della complessità di un oggetto (per esempio una sequenza di bit) come la lunghezza del minimo programma necessario per riprodurre la sequenza. Questa tematica, inizialmente legata ad un contesto molto particolare (un’apparente “manchevolezza” della teoria della probabilità che assegna ad ogni successione di 0 e 1 generati dal lancio di una moneta non truccata, la stessa probabilità), si è sviluppata dando luogo ad un prolifico settore di ricerca: la complessità algoritmica. Settore rivelatosi estremamente generale e importante per le sue connessioni con il caos, il teorema di Gödel e l’applicazione ai problemi più disparati, dalla linguistica, allo studio delle sequenze di DNA, all’analisi delle serie finanziarie.
Nel 1954, Kolmogorov stabilì un importante risultato, successivamente perfezionato da V. I. Arnold e J. Moser, sui sistemi hamiltoniani quasi integrabili, un problema di meccanica classica già studiato alla fine del XIX secolo da J. H. Poincaré, ora si usa il termine teorema KAM (con ovvio riferimento ai tre autori). Molto brevemente, con riferimento alla meccanica celeste, il problema gravitazionale a due corpi (ad esempio Sole-Terra) è integrabile, il che significa che l’evoluzione possibile è periodica o quasi periodica. L’integrabilità è strettamente legata alla presenza di leggi di conservazione (integrali del moto) oltre all’energia. La presenza di un terzo corpo, ad esempio Giove, fornisce una (piccola) perturbazione – è questo il cosiddetto problema dei tre corpi. Poincaré dimostrò che gli integrali del moto diversi dall’energia non sopravvivono alle perturbazioni generiche. Di conseguenza, come già capito da Poincaré, possono apparire orbite caotiche (cioè traiettorie non periodiche e irregolari da cui una traiettoria arbitrariamente vicina si separa esponenzialmente nel tempo). Prima che Kolmogorov affrontasse questo problema, la comunità matematica era convinta che la non esistenza degli integrali primi comportasse necessariamente il caos. Kolmogorov, con un approccio molto ingegnoso, dimostrò che la questione è molto più sottile di quanto si pensasse. Dimostrò che quando il sistema è perturbato, se la perturbazione è piccola, i tori con frequenze razionali – chiamati tori risonanti – (corrispondenti a traiettorie periodiche) sono distrutti mentre quelli con frequenze sufficientemente irrazionali sopravvivono e rimangono vicini a quelli non perturbati.
Il teorema KAM ha profonde implicazioni nel modo in cui appare il caos nei sistemi hamiltoniani, e ha profondamente influenzato lo sviluppo della teoria dei sistemi dinamici con applicazioni (ancora in corso) nella meccanica celeste e nella fisica del plasma, dove i tori KAM sono cruciali per il problema del confinamento.
L’entusiasmo di ANK per tutti gli aspetti della scienza lo portò ad interessarsi anche a problemi applicativi, partecipando (quasi settantenne) a due campagne oceanografiche di diversi mesi dal Baltico, all’Atlantico, attraversamento del canale di Panama, poi il Pacifico fino a Vladivostok e ritorno a Mosca in transiberiana. Ecco il ricordo del suo allievo A. Monin, grande esperto di turbolenza e geofisica Andrei Nikolaevich era responsabile delle indagini oceaniche geofisiche. …Alcuni dei dispositivi erano nuovi e non funzionavano correttamente. Kolmogorov non risparmiò sforzi e tempo nel verificare l’accuratezza delle misurazioni e la calibrazione dei dispositivi, oltre a rilevare le interferenze che distorcevano le letture. Lo stesso ANK presentò il suo modo di vedere la matematica quando fu intervistato dal documentarista A. N. Marutyan: I matematici vogliono sempre che la loro matematica sia pura, cioè rigorosa e dimostrabile. Tuttavia, i problemi più interessanti e realistici non possono di solito essere risolti in quel modo. Pertanto, è molto importante che il matematico sappia trovare modi approssimati (non necessariamente rigorosi ma efficaci) per risolvere tali problemi.
Il suo atteggiamento e le sue parole ci indicano chiaramente che non esiste una scienza fondamentale e una applicata, ma solo la scienza e le sue applicazioni.
Angelo Vulpiani
Dipartimento di Fisica, Università, Sapienza di Roma
Qualche lettura per approfondire
- G. Boffetta e A. Vulpiani “A.N. Kolmogorov, le basi della probabilità, ma non solo”, in C. Bartocci et al. (Curatori), Vite matematiche: Protagonisti del’900, da Hilbert a Wiles, pag. 165 (Springer Science, 2007).
- E. Charpentier, A. Lesne and N.K. Nikolski (Curatori) Kolmogorov’s heritage in mathematics (Springer-Verlag, 2007).
- D. Costantini, I fondamenti storico- filosofico delle discipline statistico- probabilistiche (Bollati Boringhieri, 2004).
- A. Guerraggio, 15 grandi idee matematiche (Bruno Mondadori, 2013).
- H. Hosni, Probabilità: come smettere di preoccuparsi e imparare ad amare l’incertezza (Carocci, 2018).
- R. Livi and A. Vulpiani (Curatori), The Kolmogorov legacy in physics (Springer-Verlag, 2003).
- J. von Plato, Creating Modern Probability (Cambridge University Press, 1994).
- A. Vulpiani, Caso, Probabilità e Complessità (Ediesse, 2014).